MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN:

Ya vimos la forma general del método de la rigidez aplicado a modelos con resortes los cuales resultaban ser simplificaciones de las estructuras reales.  En los modelos con resortes expresábamos las ecuaciones de relación fuerza deformación simplemente como F=kΔ y como eran resortes estas deformaciones correspondían a alargamientos o acortamientos de los elementos.

Para aplicar este método a cualquier tipo de estructura tenemos que hallar esas ecuaciones de relación fuerza-desplazamiento en función de cualquier tipo de desplazamiento que sufra un elemento dado, ya sea giro, alargamiento o desplazamiento relativo en los apoyos de tal manera que encontremos una relación general F=k* Δ donde k es la rigidez del elemento para cualquier desplazamiento.

Adicionalmente se ha planteado que el método parte de escribir las ecuaciones de equilibrio en los nudos en la dirección de los grados de libertad libres.  Estas ecuaciones implican que las fuerzas estén aplicadas en los nudos y no en las luces.  Sería casi imposible decir que todas las estructuras que analicemos tendrán sus cargas aplicadas en los nudos, entonces la forma en que se analizan estas estructuras es considerar los elementos que la componen totalmente empotrados y encontrar los momentos de extremo producido por las cargas actuantes en la luz.  Una vez planteados estos momentos se sueltan los grados de libertad que son libres y se determina la modificación de estos momentos de extremo por el hecho de producirse los movimientos de estos grados de libertad. El trabajo a realizar es por superposición, donde el momento total en un extremo es la suma de los efectos de rotación y de los momentos de empotramiento debidos a las cargas.  Podemos expresar estos momentos como unos valores de rigidez de los elementos por cada uno de los movimientos, lo cual se muestra en el siguiente capitulo.

PLANTEAMIENTO DE LAS RIGIDECES DE LOS ELEMENTOS:

Partimos de un elemento tipo viga con todos sus grados de libertad restringidos

                     

Para plantear alguna ecuación en este tipo de viga tendríamos que tener algún grado de libertad libre y aquí no lo hay, entonces que tal si liberamos un grado de libertad y planteamos que sucede con las reacciones en los extremos.

 -

 

de donde        

expresemos el Ma en función de la rotación del extremo A

 

    

 

    y         

note que el hecho de liberar el extremo A produce un momento de reacción en B.

Se aplica lo mismo para el extremo B

Lo que hemos encontrado aquí no es mas que la rigidez del elemento a un movimiento de extremo, o sea el valor de k.

En el caso de tener un desplazamiento en uno de los extremos, o sea liberar el grado de libertad correspondiente a una reacción vertical, tendríamos:

 

donde ΔB  corresponde a un desplazamiento perpendicular al elemento.

Podríamos definir una ecuación que contenga todos estos desplazamientos para hallar el momento de extremo de un elemento:

esta ecuación me esta asociando cada uno de los movimientos de extremo con el momento producido.

MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO:

Para encontrar los momentos que se producen en los apoyos cuando tenemos un elemento totalmente empotrado aplicamos el método de las fuerzas :

Con estos planteamos las ecuaciones de compatibilidad y podemos encontrar las reacciones.  La solución se presentará en clase.

 

 

donde simplemente volvemos a expresar las rigideces de los elementos en forma matricial.

De aquí se pueden encontrar los momentos de empotramiento perfecto en función de los giros de extremo de los elementos estáticos.

Estos momentos de empotramiento se denominan MEP y son característicos para cada tipo de carga.

En el estado en que estamos tenemos ya unas ecuaciones de relación fuerza desplazamiento  resueltas en función de los giros de extremo de los elementos y unas ecuaciones de MEP.

Los pasos del método de rigidez vistos contemplan plantear las ecuaciones de equilibrio en los nudos en la dirección de los grados de libertad libres, plantear las ecuaciones de compatibilidad donde se expresan los desplazamientos de los elementos en función de los desplazamientos de los grados de libertad libres de toda la estructura y plantear las ecuaciones de relación fuerza desplazamiento.

Una vez tenidas estas ecuaciones se debe expresar la fuerzas de los elementos en función de de los desplazamientos de los grados de libertad libres y pasar a reemplazarlas en las de equilibrio.

Lo que vamos a hacer es considerar un elemento totalmente empotrado, a este elemento le conocemos F=kΔ y también los MEP. Podemos decir que los momentos totales de extremo están dados por:

Esta ecuación se puede interpretar que se parte de elementos totalmente empotrados y se irán soltando sus grados de libertad de los extremos y se modifican sus momentos de extremos por estos desplazamientos o giros.

Lo mismo se puede expresar en el extremo B.

Conocidos los momentos de extremo de los elementos procedemos a aplicar el equilibrio en los nudos

esta ecuación queda definida en función de los desplazamientos de la estructura los cuales constituyen las incógnitas a despejar en el método de la rigidez.

EJEMPLOS A RESOLVER:

Escribiremos aquí los momentos de empotramiento perfecto para dos tipos de carga comunes:

 

Recuerde que estos momentos se encontraron con el método de las fuerzas. 

  1. Ejemplo de una viga estáticamente indeterminada:

Se determina el numero de elementos y se reconocen los grados de libertad de toda la estructura.  En este caso tenemos rotación en A, rotación en B y rotación y desplazamiento en C. (θa,θb,θc y Δc)

El método parte de plantear las ecuaciones de equilibrio en los nudos y en el sentido de los grados de libertad libres.

A.  Ecuaciones de equilibrio:

 Nudo A:

Nudo B

Nudo C

 

Para facilitar las ecuaciones a solucionar y en vista que las ecuaciones de pendiente deflexión están en función de los momentos de extremo, cuando en las ecuaciones de equilibrio se involucren fuerzas cortantes estas se expresan en función de los momentos de extremo por medio de la estática en el elemento.  En este caso ese cortante en C se expresa así:

 

esta constituye la última ecuación de equilibrio.

 B. Ecuaciones de compatibilidad de deformaciones:

Los giros propios de los elementos los expresamos como Φ.  Podemos observar que el giro de los elementos, Φ, es igual al giro θ de los grados de libertad externos de la estructura. Entonces las ecuaciones de compatibilidad son:

Note que el desplazamiento en c se puede expresar en función del grado de libertad de rotación en b, esta relación facilita la solución de las ecuaciones simultaneas al disminuir una de las incógnitas. 

C. Ecuaciones de relación fuerza desplazamiento

Este tipo de ecuaciones está planteado en las ecuaciones de pendiente deflexión donde expresamos los momentos de extremo en función de los giros y desplazamientos de los extremos de los elementos, observe que aquí también se incluyen las ecuaciones de compatibilidad.

 

 

 

 Luego para el método de la rigidez se reemplazan las ecuaciones del numeral C en las ecuaciones de equilibrio y se resuelve para los desplazamientos.

  

 

de la viga sabemos que , entonces (aunque no hubiéramos planteado esta solución ella debe salir de estas ecuaciones):

 

 

de la ultima ecuación vemos que se cumple mcb=0

 resolviendo simultáneamente la primera y la segunda ecuación tenemos:

 

 

 

 

en la metodología general estos valores de rotación se reemplazan en las ecuaciones del numeral C y se encuentran los momentos, en este caso como la viga era estáticamente determinada, los momentos salían directamente Mab=0 y Mba=0, confirmando de esta manera que las ecuaciones de pendiente deflexión funcionan bien para todo tipo de estructura.

Por último se debe presentar el diagrama de momentos.

Se puede presentar una solución matricial en este método.

Se resolverán en clase ejercicios de pórticos con desplazamiento lateral y miembros inclinados y la solución matricial.