MÉTODO DE LA DISTRIBUCIÓN DE MOMENTOS

El profesor de estructuras  Hardy Cross inventó un método iterativo para resolver las ecuaciones de equilibrio en función de los desplazamientos y rotaciones de las ecuaciones pendiente deflexión y facilitar el análisis de estructuras con varios grados de libertad.

Debido a que este método es una solución a las ecuaciones del método de pendiente deflexión, tiene las mismas limitaciones de este:

Se desprecian las deformaciones axiales de los elementos

Se desprecian las deformaciones por cortante

Estructuras construidas con materiales elásticos y que no salgan de este rango

Deformaciones pequeñas

Adicionalmente el método tiene sus propias limitaciones:

Solo trabaja con las ecuaciones de equilibrio rotacional en los nudos

No da una solución directa cuando están involucrados grados de libertad traslacionales

Se limita a determinar como es la distribución de los momentos en los elementos que llegan a un nudo

No plantea ecuaciones de compatibilidad de deformaciones para grados de libertad traslacionales

Sin embargo todas estas limitaciones el método revolucionó el análisis de estructuras en el año 1930.

Repasemos un poco los pasos a seguir en  el método de la rigidez utilizando las ecuaciones pendiente deflexión:

  1. Planteamiento de ecuaciones de equilibrio en los grados de libertad libres
  2. Planteamiento de las ecuaciones pendiente deflexión:  corresponden a expresar los momentos de extremo de los elementos en función de unos momentos de empotramiento perfecto y de los giros y desplazamientos de cada extremo del elemento.  La formulación de estas ecuaciones se hace partiendo de asumir el elemento empotrado en sus dos extremos y de ir soltando cada grado de libertad y corrigiendo estos momentos por estos posibles movimientos.
  3. Se reemplazan las ecuaciones de pendiente deflexión en las ecuaciones de equilibrio y se resuelve para los giros y desplazamientos.
  4. Se encuentran los momentos de extremo en función de los giros y desplazamientos hallados.

Repasemos el método de  solución iterativa de un sistema de ecuaciones: se asume que todas las incógnitas menos una son iguales a cero, entonces se encuentra el valor de esta incógnita en una de las ecuaciones.  Este valor  se reemplaza en las otras ecuaciones y se encuentra el valor de las otras incógnitas cuando todas menos ella y la primera son iguales a cero.  Los valores encontrados representan una primera solución al sistema de ecuaciones planteado.   Estos valores vuelven a reemplazarse en la primera ecuación para encontrar un nuevo valor de la primera incógnita, con el cual se vuelven a encontrar las otras incógnitas.  En este proceso iterativo los resultados cada vez van difiriendo en menor cantidad lo que nos indica que nos acercamos a la respuesta que satisface todas las ecuaciones.

Teniendo presente este método iterativo podemos observar que él parte de asumir que todas las incógnitas son cero menos una, en nuestro sistema esto indica que partiendo de elementos empotrados en sus extremos, liberamos un solo grado de libertad de toda la estructura, por ejemplo para una viga de dos luces sin considerar posibles desplazamientos relativos,  podríamos liberar el giro en b, θb,  y encontramos el valor de ese giro necesario para que se cumpla que la suma de momentos en B es cero, esto es, que momento adicional debo agregar en b para que se produzca un giro que equilibre el nudo, siempre que θa y  θc sean iguales a cero (empotramiento a ese lado).

Al aplicar el momento adicional en B se puede encontrar por medio de la ecuación de equilibrio en B,  el valor de  θb.  Con este valor puedo encontrar los momentos que se generan en los extremos opuestos de los elementos manteniendo sus giros iguales a cero.  En este paso se ha hecho cumplir una de las ecuaciones de equilibrio (ΣMb=0) pero las otras dos ecuaciones no se satisfacen.  Se procede a soltar otro grado de libertad, por ejemplo θa manteniendo los otros dos valores iguales a cero.  Para satisfacer su ecuación de equilibrio se debe aplicar un momento externo igual y de sentido contrario al momento desequilibrado en ese nudo.  Se encuentra el valor del giro debido a este momento y se halla el momento del elemento en el extremo contrario B.  Otra vez se desequilibró el nudo B.  Si analizamos de nuevo la estructura pero esta vez soltando el nudo B sometido al momento contrario al generado en la segunda iteración estaríamos equilibrando el nudo B.

Este proceso continúa hasta que los momentos que tenemos que equilibrar en cada paso se van haciendo menores.

Note que en este proceso cada iteración es independiente de la anterior y corresponde a una corrección de los momentos finales en los extremos, por eso y por superposición los momentos finales corresponden a la suma de los momentos generados en cada iteración.

Cuando tenemos una estructura con un nudo al cual le llegan varios miembros el proceso de equilibrio en ese nudo nos lleva a repartir ese momento en todos los elementos, esa repartición se hace de acuerdo con la rigidez a rotación de cada elemento.  Mostraremos con el siguiente ejemplo la forma en que se reparten los momentos en un nudo.

Grado de libertad libre= θb

Ecuaciones de equilibrio en el sentido del grado de libertad libre:

Ecuaciones pendiente deflexión:

note que los momentos están dados solamente en función del giro en b ya que los otros grados de libertad son cero.

Si llamamos al termino  la rigidez rotacional del elemento a un giro, K, podemos expresar la ecuación de equilibrio como:

 

despejando para θb, tenemos:

 

reemplazando en la ecuación de cada momento nos queda:

 

notamos que el momento en el nudo se distribuye de acuerdo con la relación , a la cual le damos el nombre de factor de distribución.  Los factores de distribución de los miembros que llegan a un nudo deben sumar uno. (por qué?).  El elemento que tenga mayor rigidez tiene mayor factor de distribución por lo tanto se lleva mayor parte del momento.  Para elementos con EI constantes el miembro mas rígido es aquel que tiene menor longitud.

Cuando en un nudo solo llegan dos elementos con EI iguales, se puede expresar el factor de distribución en función de las longitudes:

             y           

Analicemos que pasa con los momentos generados en los otros nudos no libres, en este caso los extremos de elemento empotrados:

Por ecuaciones pendiente deflexión

esto nos muestra que  el momento generado en un extremo fijo cuando el otro extremo se libera es igual a la mitad del momento del lado que giró.

Esta conclusión nos ayuda mucho en el proceso iterativo porque  nos da el valor del momento generado en el extremo opuesto al liberado, a este valor se le llama momento trasladado.

Para este ejemplo ya llegamos al final de su solución encontrando los momentos de empotramiento en los extremos fijos.

Supongamos que el apoyo A no sea un empotramiento sino una articulación, entonces el momento mab tiene que ser cero, en este caso podemos volver a analizar toda la estructura aplicando un momento en A igual a –mab para que ese nudo se encuentre en equilibrio y considerando el nudo b rígido.  A este paso se le llama equilibrio del nudo A.

 

 

    donde mab´ corresponde al momento en A en esta iteración.

Este caso genera un momento en el extremo B de ese elemento igual a la mitad del momento en A que volvió a desequilibrar el nudo B.

Al aplicar equilibrio en B nos damos cuenta que se debe aplicar un momento igual a mba´ pero con signo contrario y que este momento se debe distribuir en todos los elementos de acuerdo con el factor de distribución.  Esto correspondería a un equilibrio en el nudo B, o sea aplicar un momento externo que equilibre el generado en A.

Se continua con las iteraciones de traslado y equilibrio en cada nudo hasta que los momentos trasladados y de equilibrio sean muy pequeños.  Al final se suman todos los momentos de cada iteración con su respectivo signo para hallar el momento final.

En este proceso iterativo nos damos cuenta que las ecuaciones pendiente deflexión usadas no involucran desplazamientos relativos de los extremos de elementos ni tienen en cuenta ecuaciones de equilibrio en los grados de libertad correspondientes a desplazamientos.  El método solo trabaja aplicando ecuaciones de equilibrio rotacional a los nudos.  Esta razón hace que el método de  Cross no se pueda usar directamente para resolver estructuras con desplazamientos laterales.  Como alternativa para solucionar este problema se presenta un método por superposición que se explica mas adelante.

Se debe tener en cuenta que el método de distribución de momentos es una forma de resolver las ecuaciones pendiente deflexión por lo tanto no es un método diferente.

MODIFICACIÓN DEL FACTOR DE DISTRIBUCIÓN CUANDO HAY UN EXTREMO ARTICULADO:

Para elementos con una articulación en un extremo podemos modificar el factor de distribución del nudo opuesto de tal manera que este no le traslade momentos al extremo articulado.  Note que el extremo articulado lo único que haría sería devolver este momento ya que él no puede absorber ningún momento.  Caso opuesto a un extremo empotrado en el que cualquier momento que llegue se queda en él.

Tomemos una viga sencilla

Ecuaciones de equilibrio

Ecuaciones pendiente deflexión para el tramo AB:

reemplazando en las ecuaciones de equilibrio:

y volviendo a reemplazar en las ecuaciones de momentos:

                        o lo que es lo mismo   

esto quiere decir que hemos modificado la rigidez del elemento AB para tener en cuenta el hecho de que su extremo B está articulado.  Así los factores de distribución en el nudo B ya tienen en cuenta que los momentos en B son cero y que por lo tanto cualquier momento generado para equilibrio en el nudo A  no se traslada al nudo B.

CASOS CON DESPLAZAMIENTO RELATIVO ENTRE LOS EXTREMOS DE ELEMENTOS

Cuando un extremo se desplaza con respecto al otro en forma perpendicular al elemento, se generan momentos en los extremos dados por .  Este valor se encuentra en las ecuaciones de pendiente deflexión modificando los momentos de extremo.  Si el desplazamiento es conocido, como por ejemplo un asentamiento de un apoyo, simplemente se evalúa el momento de empotramiento generado por este desplazamiento y se resuelve la estructura con estos momentos iniciales.  Si el desplazamiento no se conoce, como en el caso de un pórtico no simétrico, el método de cross ya no se puede usar directamente porque los factores de distribución de momentos tendrían que involucrar la rigidez a desplazamientos relativos y los momentos trasladados ya no obedecerían al factor de ½.

El método que se plantea es por superpoción, resolviendo primero la estructura con una reacción ficticia que impida el desplazamiento y después sumándole los efectos de analizar la estructura con una fuerza igual al negativo de la reacción hallada en el primer paso.  Este método se deja para que ustedes lo estudien, para mi parecer en vez de estar facilitando los procedimientos se complican mas por lo tanto podemos considerar que no es relevante presentarlo.

Dejamos también la inquietud de que pasa con elementos inclinados en el método de pendiente deflexión y por ende en el método de la distribución de momentos.