MATRIZ DE COMPATIBILIDAD DE DEFORMACIONES:

Esta matriz sirve para relacionar los desplazamientos de extremo con los movimientos generales de toda la estructura en sus ejes globales, también se conoce como matriz de transformación de coordenadas.

Su planteamiento asume entonces una conversión de ejes locales de los elementos a ejes globales de estos:

  

   

 

lo mismo para las fuerzas del extremo b

La matriz de transformación de coordenadas corresponde a la matriz de compatibilidad de fuerzas y se expresará con la letra λ. Note que esta matriz es para fuerzas y no para desplazamientos.  

sabemos que:  

en esta ecuación multiplicamos a ambos lados por la matriz λ  

donde:

 

reemplazando tenemos:  

estas son las fuerzas de extremo de elemento en coordenadas globales expresadas en función de los desplazamientos en coordenadas locales.

Debemos expresar estas fuerzas en función de los desplazamientos globales para lo cual necesitamos expresar los desplazamientos e en función de los desplazamientos Δ.

Volviendo al mismo planteamiento de ejes, tenemos:  

 

que es similar a:

si aplicamos lo mismo a los desplazamientos del otro extremo, podemos expresar todos los desplazamientos de los extremos de elementos en función de las coordenadas globales de la estructura.

 

reemplazando esta ecuación en la de fuerzas tenemos:

de esta manera llegamos a obtener la matriz de rigidez del elemento en coordenadas globales , realicemos esta operación con la matriz de los elementos ya planteada:  

 

definitivamente estas matrices es mejor manejarlas por submatrices de 3x3

El resultado de esta multiplicación entre matrices es una matriz de 6x6 :

esta matriz sigue cumpliendo las propiedades de la matriz de rigidez de los elementos en coordenadas locales.

Cuando el ángulo q es igual a cero entonces debe dar igual a la matriz en coordenadas locales.

Esta matriz se expresa de una manera mas sencilla si: