PLANTEAMIENTO DE LA MATRIZ DE  RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS:

Partimos de un elemento tipo viga con todos sus grados de libertad restringidos

 

Seis fuerzas de extremo de elemento que debemos expresar en función de los desplazamientos por medio de la rigidez. (rigidez: fuerza necesaria para producir en desplazamiento unitario)

Encontraremos la matriz de rigidez que asocia cada desplazamiento con la fuerza que produce en el extremo:  

1.Para la primera casilla de la matriz de rigidez se refiere al grado de libertad a1, desplazamiento en x del extremo a del elemento:

 

 

las demás fuerzas de extremo son cero.  En el caso de soltar el grado de libertad correspondiente a eb1 también obtendríamos el mismo resultado.

Podríamos representar el primer vector de la matriz de rigidez como:

similarmente para el vector 4.  

2. Liberemos el grado de libertad correspondiente a una reacción vertical en el extremo B, o sea en esta nomenclatura el eb2 y aplicamos la fuerza fb2

Resolviendo por el método de las fuerzas tenemos:

resolviendo para las fuerzas cortantes de extremo tenemos:

 

 

Para este tipo de desplazamiento nuestro vector queda:  

 

similar cuando soltamos el grado de libertad ea2 pero con diferentes signos.  

3. Soltamos el grado de libertad de rotación en el extremo A o sea ea3.

 

-

de donde        

expresemos el Ma en función de la rotación del extremo A  

 

     

Expresando esto con la nomenclatura planteada tenemos:  

  y           

Cortantes asociados a estas rotaciones:

 

 

 

                   `y        

Armando toda la matriz de rigidez del elemento tenemos:

Se puede simplificar esta matriz si la dividimos en submatrices

 

donde kaa representa la rigidez que asocia fuerzas del extremo a con deformaciones del extremo a, kab asocia fuerzas generadas en a por desplazamientos del extremo b.  

PROPIEDADES DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO

EQUILIBRIO: Cualquier desplazamiento o giro en un extremo del elemento produce fuerzas que se encuentran en equilibrio.  Ejemplo de un asentamiento en un extremo  

MOVIMIENTO DE CUERPO RIGIDO: Si el elemento se mueve sin sufrir deformaciones internas las fuerzas de extremo que genera serán nulas. 

Al aplicar un desplazamiento general sin deformación tenemos:

Si hallamos las fuerzas asociadas a estos desplazamientos por medio de la matriz de rigidez encontramos que son nulas:

SINGULARIDAD: La matriz de rigidez no tiene inversa ya que sus ecuaciones no son independientes sino redundantes.  Para que tenga solución se necesita restringir algunos grados de libertad para hacer el elemento estático.

SIMETRÍA: Se cumple la ley de los desplazamientos recíprocos.