MÉTODO DE LA RIGIDEZ DIRECTO

Con el método pendiente deflexión y su alternativa de solución de la distribución de momentos nos hemos dado cuenta de las bondades del método de la rigidez con respecto al método de las fuerzas.

Detectamos también que por hacer mas fácil la solución del análisis hemos simplificado a tal extremo las ecuaciones que dejamos a un lado efectos tan importantes como la deformación por carga axial y por cortante.  Estos efectos se hacen mas notorios en estructuras que incluyan elementos con cargas axiales considerables o inclusive aquellas construidas con elementos que solo trabajen a carga axial, como es el caso de cerchas, y en estructuras con elementos con grandes secciones transversales en un sentido, como es el caso de muros, donde el efecto principal en ellos no es la flexión sino las fuerzas cortantes.

Otra de las dificultades en que nos encontramos al trabajar con las ecuaciones de pendiente deflexión es el plantear ecuaciones de compatibilidad para elementos inclinados.  Este hecho no lo habíamos mencionado cuando vimos ese método por lo tanto merece la pena detenerse un poco y descubrir cual es el problema que se presenta cuando tenemos este tipo de elementos. 

Primero recordemos que las ecuaciones pendiente deflexión están en función de las rotaciones de extremo de elemento, del desplazamiento relativo entre estos extremos, siempre medido en el sentido perpendicular al elemento y de los momentos de empotramiento perfecto.  Planteadas estas ecuaciones para estructuras con elementos horizontales y verticales, no se presenta ningún problema ya que los desplazamientos de elementos horizontales se entienden como asentamientos de los apoyos y no afectan a los elementos verticales (ya que no hay cambios en la longitud de los elementos) , o al contrario para desplazamientos horizontales estos solo se tienen en cuenta en los elementos verticales.

Cuando adicionamos los efectos por carga axial estamos involucrando en la estructura los grados de libertad correspondientes a los acortamientos y alargamientos de los elementos, lo que conduce a que tengamos que plantear los D relativos entre extremos de elementos en función de los desplazamientos horizontales y verticales de los nudos en que concurren los extremos de los elementos.

 

 

 

Cómo adicionar de una forma sencilla los efectos de carga axial, cortante y el hecho de tener desplazamientos en cualquier sentido de la estructura en el análisis por el método de la rigidez ?

Ya otros nos han quitado la posibilidad de responder esa pregunta planteando lo que conocemos el método de la rigidez directa.

El método parte de los mismos criterios del de pendiente-deflexión: planteamiento de ecuaciones de equilibrio en el sentido de los grados de libertad libres, planteamiento de ecuaciones de compatibilidad y planteamiento de ecuaciones que relacionen las fuerzas con los desplazamientos. A continuación presentamos en forma de ecuaciones de matrices la metodología de los métodos de rigidez en general:  

1.      Ecuaciones de equilibrio:

El planteamiento de estas ecuaciones de equilibrio en los nudos y en el sentido de los grados de libertad libres se puede expresar matricialmente como:

donde:

: son las fuerzas y momentos de extremo de los elementos, en este caso desconocidas.

  : representa las fuerzas y momentos aplicados externamente en los nudos y en el sentido de los grados de libertad libres

: es la matriz estática de la estructura, o sea aquella que resulta de plantear las ecuaciones de equilibrio

2.      Ecuaciones de compatibilidad: Son aquellas que expresan los desplazamientos de los grados de libertad de cada elemento en función de los desplazamientos de los grados de libertad libres de toda la estructura.  

DESPLAZAMIENTOS                      ROTACIONES

  donde:

           deformaciones internas de los elementos, por ejemplo desplazamientos o deformaciones axiales y desplazamientos perpendiculares al elemento, estos se dan medidos con respecto a unos ejes locales del elemento que van uno paralelo al eje axial del elemento llamado ”x” y otros dos ejes  perpendiculares a este llamados “y” y “z” designados siguiendo la regla de la mano derecha.

     rotaciones de extremos de los elementos con respecto a su eje axial y medido en contra a las manecillas del reloj

     desplazamientos tanto vertical como horizontal de toda la estructura en sus grados de libertad libres, medidos con respecto a unos ejes generales X, Y y Z.

*      rotaciones de toda la estructura en sus grados de libertad libres, medidos con respecto a unos ejes generales X, Y y Z, llamados ejes globales de toda la estructura.

3.      Ecuaciones de relaciones fuerza -desplazamiento: Estas relacionan las fuerzas y momentos de extremo de cada miembro con sus desplazamientos y rotaciones.  Ojo es de cada miembro y no de la estructura general.  

      y          se puede en general simplificar diciendo que las  corresponden tanto a fuerzas como a momentos y que las  corresponde tanto a desplazamientos como a rotaciones.

es la matriz de rigidez de los elementos

El método tiene por objetivo encontrar los desplazamientos Δ y rotaciones θ de toda la estructura.

Pasos a seguir:

Expresamos las ecuaciones de fuerzas internas en función de los desplazamientos externos de toda la estructura:

llevamos estas ecuaciones a las de equilibrio:  

si expresamos el término  como la rigidez general de toda la estructura , tenemos:

esta ecuación tiene solución para los Δ al invertir la matriz de rigidez y multiplicarla por el vector de fuerzas P.

Una vez conocidos los desplazamientos de los grados de libertad libres procedemos a encontrar los desplazamientos de extremo de elemento:

con estos encontramos las fuerzas de extremo de los elementos:  

 

Note que en las ecuaciones de equilibrio no se incluyen las reacciones, por lo tanto este método no encuentra de una forma directa las reacciones, estas se determinan al considerar las fuerzas de extremo de los elementos en función de los desplazamientos.

Hemos planteado el procedimiento general el  cual requiere del planteamiento de la matriz de rigidez de los elementos en función de los desplazamientos y giros de sus extremos.  Esta matriz ya la habíamos planteado al expresar las ecuaciones de pendiente deflexión.  Recordemos que partimos de miembros con extremos fijos y vamos soltando de a un grado de libertad y determinamos como varían las fuerzas al producirse ese movimiento: