EQUILIBRIO EN LOS NUDOS

El planteamiento de las ecuaciones de equilibrio para los grados de libertad libres de cada nudo de la estructura nos lleva a expresar unas ecuaciones en función de las fuerzas de extremo del elemento.

 

 

Equilibrio en el nudo S:

reemplazando estos valores en la ecuación de equilibrio e igualando a cero los desplazamientos de los grados de libertad restringidos, tenemos:

equilibrio en el nudo T:

 

Asi quedan dos ecuaciones con dos incógnitas que corresponden a los desplazamientos de los nudos s y t.  

entonces podríamos decir que esta matriz que suma  parte de las  matrices de rigidez de los elementos constituye la matriz de rigidez de toda la estructura.  Note que en esta matriz en las casillas de la diagonal  se suman las rigideces de los elementos que convergen a un nudo y en las otras casillas se colocan las rigideces de los elementos que unen dos nudos.

En el caso de que tengamos fuerzas de empotramiento perfecto en los elementos entonces:

al remplazar los valores de las fuerzas de extremo de los elementos en las ecuaciones de equilibrio se incluyen los términos de las fuerzas de empotramiento perfecto quedando las ecuaciones de equilibrio como:

se puede encontrar un sistema general de cargas en los nudos donde se incluyen tanto las cargas externas aplicadas directamente en ellos como las cargas de empotramiento perfecto.  

 

se resuelve para Δ y se retrocede en el sistema de ecuaciones hasta encontrar las fuerzas de extremo de elementos en coordenadas locales.  Note que en la ecuación de fuerzas F=k.Δ+FEP están incluidas las fuerzas de empotramiento perfecto en coordenadas globales.

ENSAMBLE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ

Debido a que las incógnitas a despejar son los desplazamientos de los grados de libertad libres entonces las rigideces relativas a ellos son los que alimentan la matriz de rigidez general de la estructura.  Para que nos quede la matriz en orden debemos numerar los grados de libertad libres primero conservando el orden de los ejes globales.  Los grados de libertad restringidos también se numeran para integrarlos en el problema ya sea que se quiera resolver una estructura con un movimiento conocido en un grado de libertad restringido o para hallar reacciones.

Se numeran los elementos  y los nudos, se determinan los sentidos de los ejes locales de los elementos definiendo el extremo a y el b de cada uno, siempre el eje local 1 va de a a b y el ángulo entre el eje local y global se mide de local a global por la regla de la mano derecha.

El ensamble de la matriz es tal que las casillas de la diagonal se llenan con las rigideces de los elementos que convergen en un nudo y las otras con las de aquellos elementos que sirven de unión entre dos nudos de la estructura.

Cada elemento de la estructura tiene su matriz de rigidez en coordenadas globales, en este caso el elemento 1 queda:  

7                 8          9          1             2           3

                        1          2          3             10          11        12

 

                  1            2              3          4              5            6

en estas matrices se numeran las filas y columnas con los números de los grados de libertad tal cual están en la estructura, el ensamble de la matriz de rigidez total se hace numerando las filas y columnas con los grados de libertad libres y restringidos de toda la estructura y las casillas de las matrices de los elementos se van sumando en la posición correspondiente en la matriz de rigidez.  Para la casilla 1,1 de la matriz de rigidez total se insertan las casillas numeradas con 1,1 en las matrices de los elementos 1, 3 y 2 ya que ellos están asociados con el grado de libertad 1.

                                   1                      2                                                               

Así todos las fuerzas relacionadas con un desplazamiento en un nudo dado o en el nudo del otro extremo del elemento se van sumando a la matriz de rigidez total. Expresando esta matriz como submatrices tenemos:

                        1          2          3                      4          5          6

En el caso de que queramos resolver para las reacciones el montaje de la matriz de rigidez debe incluir los grados de libertad restringidos:  

donde cada termino de esta matriz representa una submatriz de 3 filas.   Note que los desplazamientos de los grados de libertad restringidos son iguales a cero.

La matriz de rigidez total, incluyendo los grados de libertad restringidos quedaría:

expresando esta ecuación en términos de submatrices tenemos:  

donde:

F23= fuerzas externas aplicadas en los nudos 2-3, estas fuerzas son conocidas

F345= fuerzas aplicadas en los nudos 3, 4, 5 . Corresponden a reacciones y son fuerzas desconocidas

GLL= fuerzas o desplazamientos de los grados de libertad libres

GRL= fuerzas o desplazamientos de los grados de libertad restringidos

KLL= submatriz de rigidez de 6x6 que relaciona las fuerzas en los nudos con grados de libertad libres con los desplazamientos de los grados de libertad libres.

KRL= submatriz de rigidez de 6x9 que relaciona las fuerzas en los grados de libertad libres (nudos 2 y 3) con los desplazamientos de los grados de libertad restringidos (nudos 3,4,5)

KLR= submatriz de rigidez de 9x6 que relaciona las fuerzas en los grados de libertad restringidos con los desplazamientos de los grados de libertad libres

KRR= submatriz de rigidez de 9x9 que relaciona las fuerzas en los grados de libertad restringidos con los desplazamientos de los grados de libertad restringidos.

ΔGLL= desplazamientos en los grados de libertad libres, son desconocidos.

ΔGLR= desplazamientos en las restricciones, estas son iguales a cero.

Realizando las ecuaciones:

 

entonces en la primera ecuación se encuentran los ΔGLL, invirtiendo la matriz de rigidez correspondiente a los grados de libertad libres,  una vez conocidos estos desplazamientos podemos encontrar las fuerzas en los nudos 3, 4 ,5 (reacciones) por medio de la segunda ecuación.