CONDENSACIÓN DE UNA MATRIZ DE RIGIDEZ

La condensación es el un método que nos permite reducir la cantidad de incógnitas a determinar en un análisis estructural o el tamaño de la matriz de rigidez a invertir.

La condensación se da por igualación de grados de libertad o eliminación de ellos como incógnitas al despreciar deformaciones axiales o también por tener ecuaciones en la matriz de rigidez que estan asociadas a fuerzas externas mas fuerzas de empotramiento iguales a cero.

 

Explicaremos primero la condensación por medio del ejemplo del pórtico desarrollado en clase despreciando deformaciones axiales.

 

 

 

 

 

 

Al montar la matriz de rigidez de toda la estructura de este ejemplo tenemos:

                        1                      2                      3                 4                      5                    6

Esta matriz se puede expresar como:

 donde cada submatriz es una matriz de 3x3

Si despreciamos las deformaciones axiales vemos que podemos expresar unos grados de libertad en función de otros que los vamos a considerar independientes, esto nos lleva a plantear unas ecuaciones de ligadura entre los grados de libertad:

 ecuación que expresa que la viga no se estira ni se encoje.

 ecuación que nos dice que la columna 1 no tiene deformaciones axiales y adicionalmente nos dice que el desplazamiento en el sentido del grado de libertad 2 es igual a cero.

  ecuación de la columna 3.

Al considerar las ecuaciones resultantes de la multiplicación de las matrices K y Δ

, observamos que todos los coeficientes que multiplican a los desplazamientos de los grados de libertad 2 y 5 (Δ2=0 y Δ5=0)  se pueden tachar de la matriz ya que ellos al multiplicar por cero no aportan nada a las ecuaciones de equilibrio de la estructura.  En este caso la matriz de rigidez quedaría reducida a una matriz de 6 filas y 4 columnas.  Para reducirla a una matriz de 4x4 consideramos que las fuerzas en los grados de libertad 2 y 5 no dependen de sus propios desplazamientos sino de los desplazamientos en los otros grados de libertad, por lo  tanto no son independientes sino dependientes.  Se reorganiza la matriz de rigidez de tal manera que las ecuaciones independientes queden en la parte superior y las dependientes abajo.  Así ya obtenemos una matriz de rigidez de 4x4, donde hemos condensado las deformaciones axiales de las columnas.

El tratamiento con el grado de libertad 4 es diferente ya que este no es cero.  Si miramos la matriz de rigidez dentro del contexto F=k*Δ, cada fila de ella contiene unos factores que multiplican a cada una de las deformaciones de los grado de libertad libres y se iguala cada una de las fuerzas en ese sentido.  En el caso del grado de libertad 4 vemos que Δ1=Δ4, entonces en las ecuaciones de rigidez podrimos decir que los términos que multiplican a Δ4 se suman a los terminos que multiplican a Δ1; esto es la columna 4 de la matriz de rigidez se puede sumar a la columna 1 y no se ha alterado el resultado.

La matriz resultante queda en este momento de 4 filas por 3 columnas, que pasa con esa fila que sobra?.  Bueno esa fila corresponde a F4 la cual por equilibrio de la viga sabemos que es igual y de sentido contrario a F1 (sin deformaciones axiales), entonces se pueden sumar las filas 1 y 4 y se igualan a la fuerza del grado de libertad 1.

La matriz queda:

                        1                      3                      6

Esta matriz es de3x3, mucho menor a la que se había considerado al principio.  Todavía podemos pensar en otra condensación para esta matriz considerando que la única fuerza externa para la que la vamos a resolver es la fuerza aplicada en la dirección del grado de libertad 1.  La ecuación de equilibrio con esta matriz se puede expresar de la forma:

donde la matriz de rigidez se ha fraccionado en submatrices ko de 1x1, k2 de 1x2, k3 de 2x1 y k4 de 2x2.

Expandiendo las ecuaciones de la matriz tenemos:

de la segunda ecuación podemos despejar en función de  y reemplazar en la primera ecuación.

note que la solución para Δ1 correspondería a dividir la fuerza por la cantidad numérica que resulta de multiplicar las submatrices dentro de los corchetes ( tenga en cuenta que este resultado da un número y no una matriz).  En conclusión la única matriz que se tuvo que invertir es la matriz k3 que es de 2x2, el problema se redujo considerablemente.  Por otro lado si lo que queremos obtener es la rigidez lateral del pórtico está estará dada por .

La primera condensación realizada corresponde a ecuaciones de ligadura y esta ultima condensación corresponde a las ecuaciones de equilibrio.

Esta metodología se puede expresar en forma general por medio de matrices.

FORMA GENERAL DE CONDENSAR UNA MATRIZ

Se plantearán ecuaciones generales pero se expresan para el ejemplo del pórtico.

El primer paso después de tener la matriz de rigidez de toda la estructura es plantear las ecuaciones de ligadura entre los grados de libertad dependientes y los independientes:

Ligadura:

 

Esta ecuación queda:  

 

Esta ecuación queda:              

  ecuación de la columna 3 y queda      

Ecuaciones de ligadura:

Donde A es la matriz que contiene estas ecuaciones

reorganizando los Δ de tal manera que arriba queden los independientes y abajo los dependientes y particionando esta matriz, tenemos:

 

donde Ao es una matriz que multiplica a los desplazamientos independientes y A1 a los desplazamientos dependientes, desarrollando las ecuaciones de esta multiplicación matricial:

 

 

de esta manera encontré los desplazamientos dependientes en función de los independientes

de tal manera que puedo convertir los Δ de 6x1 en función de los Δ independientes así:

 

 expresado en todos los grados de libertad tendríamos:

                                    matriz R

Para poder incluir la matriz R en la ecuación de rigidez debe estar organizada igual que la matriz de rigidez general de la estructura o sea en el orden de los grados de libertad, una vez intercambiadas filas y columnas de  podemos expresar la ecuación como:

  ecuación 1

sabemos que

   ecuación 2

y por ley de Betty y transformación de la matriz de rigidez tenemos:

        ecuación 3

reemplazando las ecuaciones 1 y 3 en la ecuación 2:

De esta manera condensamos la matriz de rigidez y queda por resolver un sistema de 3x3. Falta la condensación por las ecuaciones estáticas o sea aquella que se hace porque las fuerzas externas en algunos de los grados de libertad independientes son cero.  En el caso del pórtico sería dejar todo en términos de Δ1.

de aquí en adelante se siguen los mismos pasos explicados en el ejemplo para resolver la ecuación en función de los grados de libertad libres, independientes y que tengan fuerza externa aplicada en ellos.  Esta fuerza externa también puede ser por fuerzas de empotramiento perfecto ya que el sistema que se resuelve es para el vector de fuerzas aplicadas directamente en los nudos menos el vector de FEP.