METODO DE RIGIDEZ PARA LA SOLUCIÓN DE ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

 

INTRODUCCIÓN

Cuando se habla de solucionar una estructura hablamos de encontrar las relaciones entre las fuerzas aplicadas y las fuerzas de reacción, las fuerzas internas en todos los puntos y las deformaciones.

Para estructuras estáticas solo es necesario plantear las ecuaciones de equilibrio para encontrar fuerzas de reacción ya que estas no sobrepasan en número a las ecuaciones de equilibrio. Una vez tengamos las reacciones procedemos a encontrar las fuerzas internas por equilibrio de secciones y de ahí encontramos las deformaciones por los métodos de la doble integración o trabajo virtual.

En la solución de estructuras estáticamente indeterminadas tenemos que solucionar simultáneamente las ecuaciones de equilibrio, compatibilidad de deformaciones y las de relaciones de fuerzas y desplazamientos (leyes constitutivas del material).  Observe que para las estructuras estáticas los métodos de encontrar las deformaciones involucran la compatibilidad y las relaciones fuerza-desplazamiento concluyendo que estas ecuaciones se deben cumplir en todo tipo de estructura.

La manera como se manipulan estos tres tipos de  ecuaciones en el proceso de solución determina el método.

Por ejemplo, en el método de las fuerzas vimos que planteamos unas ecuaciones de compatibilidad de deformaciones en el sentido de las redundantes y después reemplazamos en estas ecuaciones, los desplazamientos en función de las fuerzas redundantes, quedando como incógnitas a solucionar las fuerzas redundantes. Note que aquí se ha resuelto parte de la estructura, o sea, solo la parte de llevarla a ser estáticamente determinada, de ahí debemos completar la solución por medio de las ecuaciones de equilibrio estático.  En conclusión, se plantean tantas ecuaciones como redundantes halla, por lo tanto en este método el numero de incógnitas es el número de redundantes, y las matrices a resolver son de ese orden.

El otro método que plantearemos en este capitulo es el de la rigidez o de los desplazamientos.  Se llama de rigidez porque las ecuaciones finales a solucionar tienen como incógnitas los desplazamientos en función de las rigideces de los elementos.

En cualquiera de los dos métodos que planteemos se utiliza el principio de superposición, el cual se cumple para sistemas lineales, elásticos y que experimenten desplazamientos pequeños, o sea que las tangentes son iguales a los ángulos.

Debido a que en el método de la rigidez se trabaja con los desplazamientos en un punto determinado es importante definir lo que es un grado de libertad.

 

GRADOS DE LIBERTAD:

Los grados de libertad corresponden a las posibles formas de moverse que tiene una estructura, con ellos se puede describir la figura deformada de una estructura. Estos se miden en los puntos de unión de elementos (nudos) o en los apoyos.

En apoyos sabemos determinar cuando un grado de libertad es libre o restringido, en nudos también podemos identificar los grados de libertad libres.

Para una estructura completa podemos contar los grados de libertad libres identificando los de los apoyos y después los de los nudos:

  

 

 

Esta estructura bidimensional tiene 7 grados de libertad libres, si conocemos los desplazamientos en cada una de sus direcciones podemos determinar la deformada de toda la estructura en función de estos desplazamientos. Note que ellos constituyen los desplazamientos de extremo de los elementos.

Esta estructura tiene 5 grados de libertad libres.

 

MÉTODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS O DE LA RIGIDEZ

En este método se trabaja con los tres tipos de ecuaciones mencionados aplicadas a los nudos de la estructura dejando como incógnitas los desplazamientos de los grados de libertad libres.  Notamos que es una forma completamente distinta de trabajar, pero que analizando mas detenidamente es simplemente el método de los nudos.

Veamos en una estructura simple como se plantean las ecuaciones en los nudos.  Para esto representaremos cada elemento como un resorte susceptible de deformarse axialmente.

 

Se dan los datos del ejercicio:

K1=2 kLb/pul,            K2=1 kLb/pul             K3=1 kLb/pul             θ=45º  P=4kLb

Esta estructura tiene 3 redundantes, por lo tanto es estáticamente indeterminada.

En vista de que el método trabaja con los nudos, entonces planteamos los tres tipos de ecuaciones en los nudos, no se toman los apoyos ya que en ellos no hay ecuaciones de compatibilidad.

Ecuaciones de equilibrio:

Nudo B

 

Nudo C

 

Las ecuaciones de Fx corresponden a grados de libertad libres y las de y corresponden a grados de libertad restringidos.

 

Compatibilidad de deformaciones:

 

 

 

 

 

En estas ecuaciones se plantean las deformaciones de cada elemento en función de los desplazamientos externos en los grados de libertad libres: (ecuaciones 2)

Ecuaciones de relaciones fuerza-deformación: (ecuaciones 3)

planteemos las ecuaciones de equilibrio en función de los desplazamientos externos por medio de sustituciones:

de (2) en (3):

 

reemplazando estas en las de equilibrio:

En este caso quedan dos ecuaciones con dos incógnitas, los dos grados de libertad libres de los nudos, esta estructura es cinemáticamente indeterminada de segundo grado. Note que las ecuaciones de los grados de libertad restringidos no se usaron.

Se resuelve el sistema para las deformaciones libres y se devuelve hasta encontrar las fuerzas en los elementos.

Podemos plantear los pasos del método asi:

  1. Identificar los grados de libertad libres en los nudos
  2. Plantear las ecuaciones de equilibrio de esos grados de libertad
  3. Plantear las ecuaciones de compatibilidad de deformaciones,  esto es, expresar las deformaciones internas de los elementos (expresados en letras minúsculas) en función de los desplazamientos externos de la estructura.
  4. Plantear las ecuaciones de las leyes constitutivas del material, relaciones fuerza desplazamientos
  5. Reemplazar las ecuaciones del paso 3 en las del paso 4
  6. Remplazar en las ecuaciones de equilibrio las ecuaciones halladas en el paso 5
  7. Resolver para los desplazamientos
  8. Reemplazar los desplazamientos encontrados en las ecuaciones del paso 3 para hallar deformaciones internas
  9. Encontrar fuerzas de extremo de los elementos por medio de las ecuaciones del paso 4 y los valores del paso 8
  10. Con las fuerzas de extremo de elemento resolver para cada elemento sus fuerzas internas y deformaciones.

Observemos que el método parte de las ecuaciones de equilibrio en los nudos, entonces nos preguntamos que hacemos si las fuerzas no están aplicadas en los nudos sino en los elementos?