Capítulo 2

EQUILIBRIO, INDETERMINACIÓN Y GRADOS DE LIBERTAD

1. EQUILIBRIO

Decimos que un cuerpo se encuentra en equilibrio estático cuando permanece en estado de reposo ante la acción de unas fuerzas externas.

El equilibrio estático se aplica  a el cuerpo en sí como a cada una de las partes.

Decimos que un cuerpo se encuentra en equilibrio dinámico cuando responde con un movimiento o vibración (aceleración) controlada de sus partes (deformación) mas no de su soportes, ante la acción de las cargas generadas por sismo, viento, motores y en general aquellas excitaciones dinámicas producidas por la carga viva.

1.1 Ecuaciones básicas de equilibrio

Las ecuaciones que describen el equilibrio estático son planteadas en la primera ley de Newton y controlan los movimientos del cuerpo en traslación y rotación.

 y

Dos ecuaciones vectoriales que se convierten en seis ecuaciones escalares, tres de traslación y tres de rotación.

 , estas tres corresponden a tres posibles formas de desplazamiento, es decir,  tres grados de libertad del cuerpo y   corresponden a tres grados de libertad de rotación.

En total representan seis formas de moverse,  seis grados de libertad para todo cuerpo en el espacio.

Para estructuras planas basta con plantear tres ecuaciones que representen los tres grados de libertad del cuerpo, dos desplazamientos y una rotación:

 

 

1.2 Ecuaciones alternas de equilibrio

En el plano se puede verificar el equilibrio por medio de dos ecuaciones de momento y una de fuerzas o por medio de 3 ecuaciones de momento:

a)      Una ecuación de traslación y dos momentos:  siempre y cuando se cumpla que los puntos a y b no coincidan ambos con el eje Y o en una línea paralela a Y.

Si colocamos a “a” y “b” sobre Y en ninguna de las ecuaciones estaríamos involucrando las fuerzas paralelas o coincidentes con Y.

b)      Tres ecuaciones de momento: .

Para que estas ecuaciones involucren todas las fuerzas los puntos a, b y c  no pueden ser colineales.

Para aplicar las ecuaciones de equilibrio se debe construir un diagrama de cuerpo libre de la estructura, en el cual se representen todas las fuerzas externas  aplicadas a ella.

Las reacciones en los soportes crecen o decrecen a medida que las cargas varían, pero para el análisis, consideraremos los apoyos rígidos e infinitamente resistentes. Cabe aclarar que los apoyos pueden ser elásticos, esto es, apoyos que se pueden modelar como resortes, cuyas reacciones son proporcionales a los desplazamientos o rotaciones sufridas.

Cuando definimos el equilibrio mencionamos dos condiciones, una para el cuerpo en general que corresponde al equilibrio externo, y otra para cada una de sus partes que corresponde al equilibrio interno sin tener en cuenta los apoyos (estabilidad interna).

2. ESTABILIDAD Y DETERMINACIÓN EXTERNAS

la estabilidad se logra si el número de reacciones es igual al número de ecuaciones de equilibrio independientes que se puedan plantear, siempre y cuando las reacciones no sean concurrentes ni paralelas.

Las ecuaciones de equilibrio  independientes corresponden a las ecuaciones de equilibrio general mas las ecuaciones de condición adicional en las uniones de las partes de la estructura (rótulas o articulaciones internas), por ejemplo:

·  Caso de reacciones concurrentes

No restringen la rotación generada por fuerzas externas que no pasen el punto de concurrencia de las reacciones.

·  Caso de reacciones paralelas

No restringen el movimiento perpendicular a ellas.

2.1 Condiciones de equilibrio y determinación en estructuras planas

Si  # reacciones =  # ecuaciones estáticas más ecuaciones de condición; hay estabilidad.

Si # reacciones < # ecuaciones; es inestable .

Si # reacciones > # ecuaciones; es estáticamente indeterminado o hiperestático y su grado de indeterminación estática externa se determina por:

GI externo = # reacciones - # ecuaciones

2.2 Estabilidad y determinación interna

Una estructura es determinada internamente si después de conocer las reacciones se pueden determinar sus fuerzas internas por medio de las ecuaciones de equilibrio.

Una estructura es estable internamente, si una vez analizada la estabilidad externa, ella mantiene su forma ante la aplicación de cargas.

La estabilidad y determinación interna están condicionadas al cumplimiento de las ecuaciones de equilibrio de cada una de las partes de la estructura.

Para analizar las fuerzas internas se usan dos métodos:

El método de las secciones y el método de los nudos.

En el método de los nudos se aplican las ecuaciones  (armaduras planas) a cada nudo en sucesión y en el método de las secciones se aplican las ecuaciones  a cada una de las partes de la estructura y se obtienen las fuerzas internas en los elementos interceptados por una línea de corte trazada adecuadamente.

2.3 Armaduras

Este tipo de estructuras está construido por uniones de articulación, donde cada uno de sus elementos sólo trabaja a carga axial.

Por cada nudo se tienen dos ecuaciones estáticas.

Si n es el número de nudos, m es el número de miembros y r es el número de reacciones necesarias para la estabilidad externa tenemos:

Número de ecuaciones disponibles: 2 x n

Número de incógnitas o fuerzas a resolver =  m, una fuerza por cada elemento, note que aquí se pueden incluir las reacciones externas necesarias para mantener el equilibrio.

Entonces si:

2.n = m + r   la estructura es estáticamente determinada internamente y

m = 2.n–r     representaría la ecuación que define el número de barras mínimas para asegurar la estabilidad interna. Esta ecuación es necesaria pero no suficiente, ya que se debe verificar también la formación de la estructura en general,  por ejemplo al hacer un corte siempre deben existir barras de tal manera que generen fuerzas perpendiculares entre sí (caso de corte y axial) y posibles pares de momento resistente.

Si    m > 2 n – r    la armadura es estáticamente indeterminada internamente, r  sólo incluye aquellas reacciones necesarias para la estabilidad externa ya que sólo estamos analizando determinación interna.

Ejemplos:

1.

 

Determinación interna:

m = 13                        m + r = 2n

n = 8                           13 + 3 = 2 x 8   Cumple

r = 3

 

 

2.

3.

  

4.

 

Estabilidad y determinación total en armaduras

Simplemente se aplica la ecuación:

m = 2 n – r    donde r en este caso se considera el número de reacciones totales consideradas.  

Para el ejemplo anterior tenemos:

m = 6    n = 4   r = 4  

6 > 8 – 4  

GI total es 6 – 4 = 2

 

 

 

2.4 Marcos y pórticos

Para el análisis de la determinación y estabilidad internas se usa el método de las secciones.

En este caso cada elemento trabaja como elemento tipo viga sometido a tres fuerzas internas: Corte, Axial y Momento.

Se inicia partiendo la estructura en varias partes de tal manera que en cada corte se solucionen las fuerzas internas de cada elemento.

En el caso de pórticos que formen anillos cerrados los cortes deben ser tales que aíslen esos anillos.

 

 

 

 

Estructura estable. Análisis externo:

12 reacciones > 3 ecuaciones

GI ext = 9

GI int = 0, ya que al cortar por alguno de los elementos se generan 3 incógnitas con tres ecuaciones estáticas disponibles para la parte de la estructura analizada.

 
 

 

 

 

 

 

 

  

 

externamente:

5 reacciones > 3;    GI ext = 2

Estable externamente

Internamente:

# incógnitas = 6, en cada corte, 3 por elemento cortado.

# ecuaciones estáticas= 3

GI int = 3

GIT = 5

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.5 Sistemas estructurales que combinan elementos tipo cercha con elementos tipo viga en uniones articuladas.

Para la determinación interna se recomienda separar la estructura en sus partes, hacer el diagrama de cuerpo libre de cada una y contar incógnitas y ecuaciones disponibles.

Cada parte de la estructura debe estar en equilibrio.

La determinación y estabilidad externa se encuentran por los métodos usados para las otras estructuras.

 

En el análisis externo tenemos:

3 reacciones, 3 ecuaciones estáticas; entonces es estáticamente determinado y estable.  Note que la estructura no necesita de sus reacciones para mantener su forma por lo tanto no se cuentan ecuaciones de condición.

Internamente, partiendo en las uniones:

Número de incógnitas: 6.  Número de ecuaciones: 9-3 de la estática externa=6.

Estable y estáticamente determinado internamente.

Si una de las barras está sometida solamente a las fuerzas de sus uniones, ésta barra trabaja como cercha y se eliminan dos incógnitas, pero también sus ecuaciones de equilibrio se reducen a una sola en vez de tres.

 

3. GRADOS DE LIBERTAD

Se define como grados de libertad el número mínimo de parámetros necesarios para describir de manera única la figura deformada de la estructura.  Estos parámetros corresponden a las rotaciones y traslaciones libres en cada uno de los nudos de la estructura.

Para el análisis de estructuras podemos usar dos métodos que varían de acuerdo con las incógnitas a resolver, en uno se encuentran fuerzas y en el otro se encuentran deformaciones.

En este curso solo analizáremos estructuras reticulares donde un elemento queda totalmente determinado si conocemos las deformaciones y rotaciones de sus extremos ( método de las deformaciones) o las fuerzas y momentos de sus extremos (método de las fuerzas).

Para estructuras estáticamente determinadas el método de las fuerzas resulta mas apropiado ya que las fuerzas como incógnitas quedarían resueltas al aplicar las ecuaciones estáticas.  En el caso de tener estructuras con grados de hiperestáticidad altos resulta mas ventajoso usar el método de las deformaciones, debido a que se cuenta con menos grados de libertad libres que número de fuerzas por determinar.

En estos casos el grado de indeterminación se mide por el número de grados de libertad libres (posibles formas de moverse la estructura en sus uniones) y se denomina indeterminación cinemática de la estructura.

Para un elemento tipo viga sin ninguna restricción tendríamos 6 grados de libertad libres, tres en cada extremo:  

Si la viga se le colocan apoyos de tal manera que queda estáticamente determinada y estable ella quedaría con un grado de indeterminación cinemática de 3.  

4. APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO

Determinación de reacciones por proporciones:

Para determinar las reacciones en vigas sometidas a cargas puntuales podemos aplicar la siguiente regla:

Siempre la reacción de un lado será igual a la carga puntual multiplicada por la distancia de la carga al apoyo contrario dividido la longitud del elemento.

Para determinar las reacciones debidas a momentos siempre aplicamos que el momento externo debe ser compensado por un par de fuerzas en los apoyos, cuya magnitud es el momento externo dividido por la separación entre las fuerzas y su dirección es tal que produzca un momento contrario al aplicado externamente.  Estas dos reacciones cumplen con la ecuación de sumatoria de fuerzas verticales igual a cero.

 

Estas dos reglitas junto con el principio de superposición nos ayudarán bastante en la determinación de las reacciones en vigas simplemente apoyadas.

Para el análisis de arcos triarticulados con sus apoyos al mismo nivel se recomienda partir el arco por la articulación y tomar momentos de las fuerzas internas de la articulación con respecto a los apoyos.  En este caso obtendremos un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.  Si los apoyos están a diferentes niveles se toma el arco como un todo y toma momentos con respecto a uno de los apoyos, por ejemplo el apoyo A, después parte el arco por la articulación y toma momentos de la parte que incluye el apoyo B con respecto a la articulación  y queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.