Método de área momento

 

De la ecuación general de flexión tenemos:

 

Integrando: 

tengamos presente que   curvatura de un elemento viga.

 

Teorema 1:

 

El área bajo el diagrama de curvatura  entre dos puntos A y B es igual al cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elástica.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Se puede usar para vigas con EI variable.

: ángulo tangente en B medido desde la tangente en A.

Se mide en radianes.

Áreas positivas indican que la pendiente crece.

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Teorema 2:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Por teoría de los ángulos pequeños tenemos:

, si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la desviación vertical entre las tangentes en A y B.

  momento de primer orden con respecto a A del área bajo la curva de  entre A Y B.

El teorema es: “La desviación de la tangente en un punto A sobre la curva elástica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B, es igual al momento del área bajo la curva entre los puntos Ay B con respecto a un eje A.

Se cumple siempre cuando en la curva no haya discontinuidades por aarticulaciones.

Esta desviación siempre es perpendicular a la posición original de la viga y se denomina flecha.

 

Ejemplo:

Determinar las flechas en los puntos B y C y la pendiente elástica en el punto B.

E, I constantes.

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Pasos a realizar:

  1. Encontrar el diagrama de momentos.
  2. Dividir M por EI y trazar la curva elástica tentativa.
  3. Para encontrar q fijar un punto inicial al cual se le conozca la pendiente e integrar el diagrama de curvatura entre el punto inicial de referencia y el punto pedido.

Cambio en q = área bajo M/EI

  1. Para encontrar flechas, tomar un punto inicial al que se le conozca su flecha, preferiblemente un apoyo.

El cambio de la flecha se calcula como el primer momento del área bajo el diagrama de M/EI con respecto al punto sobre el que se va a encontrar la deflexión. (*Área bajo la curva de M/EI midiendo  desde el punto al que se le va a hallar la deflexión).

  1. Signos, un cambio de pendiente positivo osea áreas positivas de M/EI indican qque la pendiente crece.

 

Ejercicio

Para la siguiente viga determinar la deflexión y rotación en el punto C en función de EI.

 

 

 

 

 

 

 


   adimensional (radianes)

 condición de apoyo

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Flecha = momento de primer orden con respecto a B

si   

  por no existir momento en ese tramo.

 

Ejercicio

D

 

15

 
Determinar  y

 

 

 

 

 

 

 

 


20/EI

 

M/EI

 

YD

 

C/A

 

D/A

 

θD/A

 

  DESVIACIÓN POSITIVA

 NEGATIVA

 

remplazando en 1:

                           

                            

 

Busquemos el punto de tangencia cero, , punto de

 

 

Viga conjugada:

 

Recordando las relaciones entre carga, cortante y momento tenemos:

                                                 

la pendiente del diagrama de momentos es el cortante

la pendiente del diagrama de cortante es la carga

Variación del momento = área bajo la curva de cortante

Para hallar el momento se integra la curva de cortante

V = para hallar el cortante se integra la curva de carga

 

Si una viga la cargamos con una carga ficticia W igual a la curva del diagrama de momentos dividido EI, entonces podemos decir:

                      

: área bajo el diagrama de cortante de la viga cargada con:

y: diagrama de momentos de la viga conjugada

*        : área bajo el diagrama

            : diagrama de corte de la viga conjugada

 

 

 

 

 

 

 

 


Análogas con las vigas

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Ejercicios método del área momento

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


  desplazamiento para debajo de la viga.

                     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Cambio de temperatura

 

Despreciar deformaciones axiales, sólo por curvatura.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


               

                                

 

para aumento de temperatura en la fibra superior concavidad

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Ejemplos

 

Le marco de acero de la figura se somete a una carga constante de temperatura en el mismo miembro superior.

Despreciando la deformación axial calcule